Question

高中数学1，解析题，求过程

Answer 1

13.
　(1)2x²-(kx+1)²=1
　　(2-k²)-2kx-2=0
　　∵直线与双曲线右支有2不同交点
　　∴(2-k²)-2kx-2=0有两个大于0的不同实根
　　△=4k²+8(2-k²)>0→-2<k<2
　　x1+x2>0→2k/(2-k²)>0→k<-√2或0<k<√2
　　x1x2>0→-2/(2-k²)>0→k>√2或k<-√2
　　∴-2<k<-√2
　(2)右焦点F(c,0),c>0
　　以AB为直径的圆过F，则FA⊥FB
　　即向量FA·向量FB=0
　　∴(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0
　　(x1-c)(x2-c)+y1y2=0
　　(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0
　　(k²+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c²+1=0
　　2(k²+1)/(k²-2)-2k(k-c)/(k²-2)+c²+1=0
　　2(k²+1)-2k(k-c)+(k²-2)(c²+1)=0
　　(c²+1)k²+2ck-2c²=0
　　c²=a²+b²=3/2，c=√(3/2)
　　∴(5/2)k²+2√(3/2)k-3=0
　　k=[-2√(3/2)±6]/5
　　∴k=(-√6±6)/5
　　结合(1)所求得k的范围可知：k=(-√6-6)/5