Question

设f(x)是定义在R上的偶函数,其函数图像关于直线x=1对称,对任意x1x2属于(0,0.5),都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)

1、求f（0.5)和f（0.25).
2、证明：f（x）是周期函数、

Answer 1

分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数 (x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.
解:设 (x)=f(x)g(x),则 ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.
∴ (x)在(－∞,0)上是增函数且 (－3)=0.
又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.
∴ (x)在(0,+∞)上也是增函数且 (3)=0.
当x<－3时, (x)< (－3)=0,即f(x)g(x)<0;
当－3<x<0时, (x)> (－3)=0,即f(x)g(x)>0.
同理,当0<x<3时, f(x)g(x)<0;
当x>3时,f(x)g(x)>0.
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).
答案:(－∞,－3)∪(0,3)