Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=3/4，点D是BC的中点，点E是AB边上

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=3/4，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F。
（1）求AC和BC的长；
（2）当EF∥BC时，求BE的长；
（3）联结EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长。
主要是第三小问不会做，注意有两个解，F在AC延长线上时

Answer 1

1）∵∠C=90°，
则tanB=AC/BC=3/4;
又AB=5，设AC=3X
∴AC^2+BC^2=AB^2,
即25X^2=25,X=1.
则AC=3,BC=4.
2)当EF∥BC时
,则△AFE∽△ACB.
故AF:FE:EA=AC:CB:BQ=3:4:5.
设FE=4m,由∠CDF=∠DFE；∠C=∠FDE=90°
可知：△FCD∽△EDF，
则DF/EF=CD/DF，
DF^2=CD*EF=2EF=8m.
∵DF^2-CD^2=CF^2,
即8m-2^2=(3-3m)^2
∴m=(13-2√13)/9[(m=13+2√13)/9（不合题意，舍去）
则BE=AB-AE=5-5m=5-5*(13-2√13)/9=(10√13-20)/9.
3)当点E在CB的中垂线上即ED⊥CB、
F与C重合时，△EDC≌△EDB∽ △ACB。
则BE/BA=BD/BC，
BE/5=2/4，则BE=2.5.

追问

第三小问有两解

追答

补充（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=31，BE=51
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HE5=∠F5C
∵∠EHD=∠C=92°
∴△EHD∽△DCF
∴ EH/CD=DE/DF，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°
DE/ DF= BC/AC = 4/3 ，

∴EH/CD=4/3 ，即3m/2 =4/3
解得m=8/9 ，
∴BE=5m=40/9
综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为 2.5 或40/9 ．