Question

已知抛物线y=ax 2 +x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，

已知抛物线y=ax 2 +x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为 时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．

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Answer 1

（1）抛物线为y=﹣x 2 +x+2=﹣（x﹣ ） 2 + ，顶点M（ ， ）． 证明见解析 （3）E（1，2）， （4）对称；理由见解析

试题分析：（1）由待定系数法可求得解析式，然后转化成顶点式即可得顶点坐标． 有两组对应边对应成比例且夹角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得． 作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得． （4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax 2 +x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点， ∴ ， 解得 ． ∴抛物线为y=﹣x 2 +x+2； ∴抛物线为y=﹣x 2 +x+2=﹣（x﹣ ） 2 + ， ∴顶点M（ ， ）． 如图1， ∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2）， ∴直线BC为：y=﹣x+2， 当x= 时，y= ， ∴N（ ， ）， ∴AB=3，BC=2 ，OB=2，BN= ， ∴ ， ， ∵∠ABC=∠NBO， ∴△ABC∽△NBO， ∴∠NOB=∠ACB； （3）如图2，作EF⊥BC于F， ∵直线BC为y=﹣x+2， ∴设E（m，﹣m 2 +m+2），直线EF的解析式为y=x+b， 则直线EF为y=x+（﹣m 2 +2）， 解  得 ， ∴F（ m 2 ，﹣ m 2 +2）， ∵EF= ， ∴（m﹣ m 2 ） 2 +（﹣ m 2 +2+m 2 ﹣m﹣2） 2 =（ ） 2 ， 解得m=1， ∴﹣m 2 +m+2=2， ∴E（1，2）， （4）如图2，延长EF交y轴于Q， ∵m=1， ∴直线EF为y=x+1， ∴Q（0，1）， ∵F（ ， ）， ∴FQ= ， ∵EF= ，EF⊥BC， ∴E、F两点关于直线BC对称．