Question

（2012?广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE

（2012?广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

Answer 1

（1）见解析      （2）3

（1）∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BD，又PA∩PC=P ∴BD⊥平面PAC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥平面BOE ∴PC⊥BE ∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角 ∵BD⊥平面PAC ∴BD⊥AC ∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2 ，PC=3 ∴OC= 在△PAC∽△OEC中， ∴ ∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3