Question

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。 （1）当|CD|= 时，求直线l的方程；（2）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。

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Answer 1

解：（1）由已知可得椭圆方程为 ，设l的方程为 为l的斜率 则 ∴l的方程为 ； （2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符 设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ）， ∴P点的坐标为（- ，0） 由（1）知 且直线AC的方程为y= ，且直线BD的方程为y= 将两直线联立，消去y得 ∵-1＜x 1 ，x 2 ＜1， ∴ 与 异号 2 = ∴ 与 异号， 与 同号 ∴ ，解得x=-k 故Q点坐标为（-k，y 0 ） = =-1 ∴ 为定值。