Question

（2014?邳州市二模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，CD为⊙O的切线，C为切点，且CD⊥P

（2014?邳州市二模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，CD为⊙O的切线，C为切点，且CD⊥PA，垂足为D．（1）若∠PAC=60°，求∠CAE的度数；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

（1）连接OC，

∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
又∵CD⊥PA，
∴PA∥OC，
∴∠ACO=∠PAC=60°．
又∵OA=OC，
∴∠CAE=∠ACO=60°；
（2）过O作OM⊥AB于M，
则AB=2AM．

∵∠CDM=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OM=CD，DM=OC=5．
设DC=x，则DA=6-x．
∴AM=5-（6-x）=x-1．
在Rt△AMO中，（x-1）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=-3（舍去）．
∴AM=4-1=3，
AB=2AM=6．

Answer 2


∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
又∵CD⊥PA，
∴PA∥OC，
∴∠ACO=∠PAC=60°．
又∵OA=OC，
∴∠CAE=∠ACO=60°；
（2）过O作OM⊥AB于M，
则AB=2AM．

∵∠CDM=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OM=CD，DM=OC=5．
设DC=x，则DA=6-x．
∴AM=5-（6-x）=x-1．
在Rt△AMO中，（x-1）2+x2=52，
解得x1=4，x2=-3（舍去）．
∴AM=4-1=3，
AB=2AM=6．: