Question

如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点．（1）当点E为AB的中点时，求

如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点．（1）当点E为AB的中点时，求证：BD1∥平面A1DE；（2）求点A1到平面BDD1的距离；（3）当AE=12EB时，求二面角D1-EC-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连结AD₁交A₁D于F，则F为中点，连结EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD₁，
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE…（3分）
（2）解：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四边形AA₁D₁D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA，
于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴

DB

＝(1，2，0)，

DD1

＝(0，0，1)，

A1B

＝(0，2，?1)，
设面BDD₁的一个法向量为

n1

=（x₁，1，z₁），
∴

x1+2＝0 z1＝0

，∴

n1

=（（-2，1，0），∴点A₁到面BDD₁的距离d＝

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