Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．

设AE＝X
(1)试用含X的式子表示BM；
(2)求证：MN＝BE;
(3)设四边形ADNM的面积为S，求S关於x的函数关系式。

Answer 1

（1）解：连结ME。
因为 MN垂直平分BE，
所以 ME=BM
因为 在正方形ABCD中，AB=2，
所以 由勾股定理可得：
ME^2=AE^2+AM^2=AE^2+(AB--BM)^2,
即： BM^2=x^2+(2--BM)^2
所以 BM=（X^2+4)/4。
（2）证明：过点C作CF//MN交AB于点F，
因为 四边形ABCD是正方形，
所以 AB=BC，AB//DC，角A=角ABC，
因为 MN垂直于BE，CF//MN，
所以 CF垂直于BE，角CFB+角FBE=90度，
因为 角ABC=90度，角CFB+角BCF=90度，
所以 角FBE=角BCF，
又因为 角A=角ABC，AB=BC，
所以 三角形ABE全等于三角形FBC，
所以 BE=CF，
因为 AB//DC，CF//MN，
所以 CF=MN，
所以 BE=MN。
（3）因为 三角形ABE全等于三角形FBC，
所以 BF=AE=X，
因为 AB//DC，CF//MN，
所以 CN=FM=BM--BF
=（X^2+4)/4--X
=X^2/4--X+1,
DN=DC--CN=2--(X^2/4--X+1)
=--X^2/4+X+1
AM=AB--BM=2--(X^2+4)/4
=--X^2/4+1,
所以 四边形ADMN的面积S=（AM+DN）XAD/2
=--X^2/2+X+2.