Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点，BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N，设AE=x，设四边形ANDM面积

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当AE为何值是，四边形ADMN的面积最大？最大是多少？
（初中函数最值问题，帮忙解答！）

Answer 1

解：
作MF⊥CD于点F，设AM=a
∵MN垂直平分BE
∴MB=ME
∵AB=2
∴MB=2-a
∴(2-a)²=a²+x²
∴a=(4-x²)/4
易得△ABE≌△FMN
∴FN=x，DF=AM=(4-x²)/4
∴S=1/2*2*[(4-x²)/4+x]
即S=-1/2x²+x+2
(2)
S=-1/2x²+x+2
S=-1/2(x-1)²+5/2
即当x=2.5时，四边形的面积最大，最大值为5/2

Answer 2

解： 热心网友 的回答完全正确，把分给他。

（1）AE= x,AB=2,则BE2= 22+x2=4+x2，

BF=EF=1/2√(4+x2).

∵∠MBF=∠EBA,∴Rt△MFB∽Rt△EAB,

MF:AE=BF:BA,即MF:x=1/2√(4+x2):2,所以MF=x√(4+x2)/4.

BM2=MF2+BF2=[x2(4+x2)]/16+(4+x2)/4= (4+x2)2/16.

BM=(4+x2)/4,  AM=2-BM=(4-x2)/4.

作MG⊥CD于G, ∵MN⊥BE,MG⊥AB, ∴∠GMN=∠ABE.又MG=AB,

∴Rt△EAB≌Rt△NGM, ∴GN=AE=x.又DG=AM=(4-x2)/4,

∴DN=DG+GN=(4-x2)/4+x=(-x2+4x+4)/4.

于是，S=(AM+DN)*AD/2=(4-x2)/4+(-x2+4x+4)/4

=[-(x-1)2+5]/2.           显然有0＜x＜2.

（2）由函数S=[-(x-1)2+5]/2知，当x＝1时，即E为AD的中点时，四边形AMDN取得最大值，

这时的S＝5/2.

Answer 3

S=2+X*X/2

当AE=2时，面积最大为4