点P是△ABC内（不在边上）一点，连接PA、PB、PC，如果△PAB、△PBC、△PAC中存在一个三角形与原△ABC相似
点P是△ABC内（不在边上）一点，连接PA、PB、PC，如果△PAB、△PBC、△PAC中存在一个三角形与原△ABC相似，那么我们把点P叫做△ABC的内相似点．已知在Rt...
点P是△ABC内（不在边上）一点，连接PA、PB、PC，如果△PAB、△PBC、△PAC中存在一个三角形与原△ABC相似，那么我们把点P叫做△ABC的内相似点．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，若点P是△ABC的内相似点，则cos∠PAB的值为（ ）A．45B．79C．1213D．2425
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解答：
解：∵AC=3，BC=4，
∴∠CAB＞∠CBA，
故可在∠CAB内作∠CAP=∠CBA，
又∵点P为△ABC的内相似点，
∴过点C作CP⊥AP，并延长CP交AB于点D，
则△APC∽△BCA
∴点P为△ABC的内相似点，
∴∠ACP=∠CAB，
∴DA=DC，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则可求得AB=5，
由相似可知
=
，即
=
，解得AP=
，
在Rt△APC中，AC=3，AP=
，由勾股定理可求得PC=
，
设AD=x，则PD=x-
，且AP=
，由勾股定理可得AD2=AP2+PD2，
即x2=（
）2+（x-
）2，解得x=
，即AD=
，
∴cos∠PAB=
=
=
，
故选D．
解：∵AC=3，BC=4，∴∠CAB＞∠CBA，
故可在∠CAB内作∠CAP=∠CBA，
又∵点P为△ABC的内相似点，
∴过点C作CP⊥AP，并延长CP交AB于点D，
则△APC∽△BCA
∴点P为△ABC的内相似点，
∴∠ACP=∠CAB，
∴DA=DC，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则可求得AB=5，
由相似可知
| AP |
| BC |
| AC |
| AB |
| AP |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
在Rt△APC中，AC=3，AP=
| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
设AD=x，则PD=x-
| 9 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
即x2=（
| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴cos∠PAB=
| PA |
| AD |
| ||
|
| 24 |
| 25 |
故选D．
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