Question

已知向量组A能由向量组B线性表示，为什么r(B) = r(B,A)？请老师帮我证明下，我不是太理解，谢谢老师

Answer 1

向量组B 自然可由向量组 A,B 线性表示
当 向量组A能由向量组B线性表示 时, 向量组A,B也可由向量组B线性表示
所以此时两个向量组等价
而等价的向量组的秩相同
所以有 R(B)=R(A,B)

Answer 2

r(B)表示B中极大线性无关注的个数，r(B,A)表示A，B并集合中极大线性无关注的个数
对于A中每个向量，由于它能被B线性表示，也必然能被B的极大线性无关组表示
这样当在(B,A)中挑选极大线性无关注时，A中每个向量都和B的极大线性无关组线性相关，因此不能被选入极大线性无关组
所以B,A和B的极大线性无关组一样，所以r(B)=r(B,A)