Question

已知点M（-1，0），N（1，0），P是平面上一动点，且满足|PN|?|MN|=PM?NM（1）求点P的轨迹C对应的方程；（

已知点M（-1，0），N（1，0），P是平面上一动点，且满足|PN|?|MN|=PM?NM（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m，2）（m∈R）在曲线C上，点D、E是曲线C上异于点A的两个动点，若AD、AE的斜率之积等于2，试判断直线DE是否过定点？并证明你的结论．

Answer 1

（1）设P（x，y），代入|

PN

|?|

MN

|=

PM

?

NM

．得

(x-1)2+y2

=1+x．
化简得y²=4x
（2）将A（m，2）代入y²=4x，得m=1，∴A（1，2）．
设直线AD斜率为k₁，直线AE斜率为k₂，
∵k₁?k₂=2，∴DE两点不可能关于x轴对称．∴DE的斜率必存在，设为k．
设直线DE的方程y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
由

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
∴x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

∵k1?k2=2，∴

y1-2

x1-1

?

y2-2

x2-1

=2(x1，x2≠1)
且y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
将x1+x