Question

已知两定点M(4,0)N(1.0).动点P满足|PM|=2|PN|.<1>求动点P的轨迹c的方程

＜2＞若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线L交与轨迹C于A、B两点，令f（a）=GA向量•ＧＢ向量，求f（a）的取值范围

Answer 1

(1)
设P(x,y)
∵P满足|PM|=2|PN|
∴(x-4)²+y²=4[(x-1)²+y²]
∴x²+y²=4
∴动点P的轨迹c的方程为x²+y²=4
轨迹为以原点为圆心2为半径的圆

（2）
GA与GB方向相反，成180º角
令C(2,0),D(-2,0) ,根据相交弦定理
|GA|*|GB|=|CG|*|GD|
=(2-a)(a+2)=-a²+4
∴f（a）=GA向量•GB向量
=|GA|*|GB|cos180º
=-|GA|*|GB|
=a²-4
∵点G（a，0）是轨迹C内部一点
∴-2<a<2
∴a²-4∈[-4,0)
即f(a)的范围是[-4,0)

Answer 2

设P坐标是（x,y)

PM^2=4PN^2
(x-4)^2+y^2=4[(x-1)^2+y^2]
3y^2=x^2-8x+16-4x^2+8x-4=-3x^2+12
y^2+x^2=4
(2)G(a,0)在C的内部，则有a^2<4
f(a)=GA*GB=|GA||GB|cos<GA,GB>=|GA||GB|cos180=-|GA||GB|
所以，|GA|=|GB|=2时有最小值是：-4，当GA=0或GB=0时有最大值是：0
故0<f(a)<=-4

Answer 3

两定点M(4,0)N(1.0).动点P满足|PM|=2|PN|
(1)设P（x，y）
则 (x-4)^2+y^2=4(x-1)^2+y^2)
得 x^2+y^2=4
(2) 0< f（a）≤4