（2012?北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线
（2012?北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连...
（2012?北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=23，求BF的长．
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证明：（1）连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴
=
=
又∵sin∠ABC=
，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=
，即
=
，
∴OH=4，
∴DH=
=2
，
又∵△ADH∽△AFB，
∴
=
，
=
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵
|
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴
| OD |
| OB |
| OH |
| OD |
| DH |
| BD |
又∵sin∠ABC=
| 2 |
| 3 |
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=
| 2 |
| 3 |
| OH |
| OD |
| 2 |
| 3 |
∴OH=4，
∴DH=
| OD2?OH2 |
| 5 |
又∵△ADH∽△AFB，
∴
| AH |
| AB |
| DH |
| FB |
| 13 |
| 18 |
2
|
