Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．（1）求动点P的轨迹的方程；

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．（1）求动点P的轨迹的方程；（2）记P的轨迹方程为E，过点F作两条互相垂直的直线分别交曲线E于A，B，C，D四点，设弦AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点，并求出该点坐标．

Answer 1

解答：（1）解：依题意有 （y-1）²+x²=|y+2|-1，
由题意知y＞-2，
∴（y-1）²+x²=|y+1|，
化简得动点P的轨迹的方程为：x²=4y．
（2）证明：由题意，可设直线AB和CD的解析式为：y=kx+1，y=-

1

k

x+1，
点M、N的坐标分别为（x_m，y_m），（x_n，y_n），
将y=kx+1，y=-

1

k

x+1分别代入x²=4y得：
x²-4kx-4=0和x²+

4

k

x-4=0，
由根与系数关系得：
x_m=2k，y_m=2k²+1，x_n=-

2

k

，y_n=

2

k2

+1，
则M（2k，2k²+1），N（-

2

k

，

2

k2

+1）
则直线MN的解析式为：y=（k-

1

k

）x+3
∴直线MN过定点，该点坐标为（0，3）．