Question

动点P与点F(1,0)的距离和它到直线L:X=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1，圆C2的圆心T是曲线上的动点，

圆C2与Y轴交于M,N两点，且MN的绝对值=4.设A(a,0)（a>2),若A到T的最短距离为a-1,试判断直线L与圆C2的位置关系。

Answer 1

动点P与点F(1,0)的距离和它到直线L:X=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1，圆C2的圆心T是曲线上的动点，圆C2与Y轴交于M,N两点，且MN的绝对值=4.设A(a,0)（a>2),若A到T的最短距离为a-1,试判断直线L与圆C2的位置关系。

解：抛物线的方程：y^2=4x   设T（t^2，2t）  则圆T的半径R^2=4+t^4

所以 圆T的方程：（x-t^2）^2+（y-2t）^2=4+t^4    当x=-1时 得：

（y-2t）^2 = 3-2t^2

|AT|^2=(t^2-a)^2+4t^2=t^4-2(a-2)t^2+a^2=[t^2-(a-2)]^2+4(a-1)

当t^2=a-2时，|AT|^2有最小值：4(a-1)=(a-1)^2

即a=5  或 a=1（舍去）

此时：t^2=a-2=3   T(3,2√3)  R=√13

T到L的距离 d=t^2+1 = 4 > R

∴ 圆C2与L 相离。

Answer 2

C1:  y^2=4x

T(b^2,2b),AT=r

 (b^2-a)^2+(2b)^2=r^2

(b^2)^2+(4-2a)b^2+a^2-r^2=0

(4-2a)^2-4(a^2-r^2)≥0

r≥2√(a-1)

点A到点T的最短距离为a-1

2√(a-1)=a-1

a=1,5

a>2

a=5,r=4,b^2=3,T(3,2√3),点T到直线l的距离=3+1=4=r

故点A到点T的最短距离为a-1时，直线l与圆C2相切