Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求AF与平面PCB所成的角的大小．

Answer 1

证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线∴FG

∥

.

CD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴AB

∥

.

CD∴FG

∥

.

AE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE∴AF∥平面PCE
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF?平面ADP∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形∴PA=AD=2
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD∵AF∥EG∴EG⊥平面PCD
又EG?平面PCE 平面PCE⊥平面PCD
解：（3）过E作EQ⊥PB于Q点，连QG，CB⊥面PAB
∴

CB⊥EQ PB⊥EQ

?QE⊥面PCB，则∠QGE为所求的角．
S_△PEB=

1

2

BE?PA=

1

2

PB?EQ?EQ=

1

2

在△PEC中，PE=EC=

5

，G为PC的中点，∴EG=

2

，
在Rt△EGQ中，sin∠EGQ=

QE

EG

＝

1

2

∴∠EGQ=30°