Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝kx(k＞0)的图象与AC边交于点E．（1）填空：点C的坐标是______；（2）连接 OE、OF，若tan∠BOF=49，求∠AOE的度数；（3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OB=6，OA=4，且C在第一象限，
∴C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；

（2）在Rt△OBF中，tan∠BOF=

BF

OB

=

4

9

，OB=6，
∴BF=

8

3

，
∴F（6，

8

3

），
将F点坐标代入反比例解析式得：k=6×

8

3

=16，即反比例解析式为y=

16

x

，
∴将y=4代入反比例解析式得：x=4，即E（4，4），
在Rt△AOE中，OA=AE=4，
∴∠AOE=45°；

（3）存在，理由为：
设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；
由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=1.5a，
∴EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a，
由∠EOF为锐角，不可能为直角，
故分两种情况讨论：
①当∠OEF=90°时，可得∠AEO+∠FEC=90°，
又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
∴△AOE∽△CEF，
∴

AO

CE

=

AE

CF

，即

4

6?1.5a

=

1.5a

4?a

，
整理得9a²-52a+64=0，
解得：a₁=

16

9

，a₂=4，
∴F（6，

16

9

）；
②当∠OFE=90°时，同理△CEF∽△BFO，
∴

CE

BF

=

CF

OB

，即

6?1.5a

a

=

4?a

6

，
整理得a²-13a+36=0，
解得a₁=9，a₂=4均不合题意，
∴∠OFE≠90°，
综上所述，当F（6，

16

9

）时，△OEF为为直角三角形．