Question

设椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，以F1为圆心F1F2为半径的圆恰好经

设椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，以F1为圆心F1F2为半径的圆恰好经过点A且与直线l：x-3y-3=0相切（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程；（3）过右焦点F2作斜率为K的直线与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得PM，PN以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为圆F₁经过点A且半径为2c，所以|AF₁|=|F₁F₂|，根据椭圆的几何性质|AF₁|=a，所以a=2c，所以e＝

c

a

＝

1

2

（3分）
（2）因为以点F₁为圆心，以2c为半径的圆与直线l：x?

3

y?3＝0相切，
所以

|c+3|

1+3

＝2，即15c²-6c-9=0，
因为c＞0，所以c=1，
又因为e＝

1

2

，所以a=2，所以b²=a²-c²=4-1=3
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1（7分）
（3）由（2）知F₂（1，0），所以设l：y=k（x-1）
由

y＝k(x?1) x2 4 + y2 3 ＝1

，可得 （3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2＝

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）（9分）

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