Question

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以F2为圆心，b-c为半径作圆F2

设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于32（a-c）．（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长S的最大值．

Answer 1

（I）由题意|PT|=

|PF2|2?(b?c)2

，
当且仅当|PF₂|取最小值时，|PT|取最小值，
∵|PF₂|_min=a-c，
∴

(a?c)2?(b?c)2

≥

3

2

(a?c)，
即0＜

b?c

a?c

≤

1

2

，解得

3

5

≤e＜

2

2

．
∴离心率e的取值范围是[

3

5

，

2

2

）．
（II）∵Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组

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