Question

如图，椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为 .不过原点O的直线l与C相交于A

如图，椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为 .不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

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Answer 1

（1） ＝1（2）3x＋2y＋2 －2＝0.

(1)设椭圆左焦点为F(－c，0)，则由题意得 得 所以椭圆方程为 ＝1. (2)设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由 消去y，整理得(3＋4k 2 )x 2 ＋8kmx＋4m 2 －12＝0，① 则Δ＝64k 2 m 2 －4(3＋4k 2 )(4m 2 －12)＞0， ， 所以线段AB的中点为M . 因为M在直线OP：y＝ x上，所以 ＝ ，得m＝0(舍去)或k＝－ . 此时方程①为3x 2 －3mx＋m 2 －3＝0，则Δ＝3(12－m 2 )＞0， ，所以AB＝ ·|x 1 －x 2 |＝ · ，设点P到直线AB的距离为d，则d＝ .设△ABP的面积为S，则S＝ AB·d＝ .其中m∈(－2 ，0)∪(0，2 )．令u(m)＝(12－m 2 )(m－4) 2 ，m∈[－2 ，2 ]，u′(m)＝－4(m－4)(m 2 －2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－ )(m－1＋ )．所以当且仅当m＝1－ 时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－ 时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2 －2＝0