Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N+，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an（1）求数列{an}和{bn}

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N+，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=n（3-bn），数列cn=n（3-bn）的前n项和为Tn，求证：Tn＜8；（3）设数列{dn}满足dn=4n+（-1）n-1?λ?1an（n∈N+），若数列{dn}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1．
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，
∵a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
∴a_n=（

1

2

）^n-1．…（2分）
∵b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），∴b_n+1-b_n=（

1

2

^）n-1．
得b₂-b₁=1，b₃-b₂=

1

2

，b₄-b₃=（

1

2

）²，…，b_n-b_n-1=（

1

2

）^n-2（n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得
b_n-b₁=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-2
=

1?( 1 2 )n?1

1? 1 2

=2-（

1

2

）^n-2．
又∵b₁=1，∴b_n=3-（

1

2

）^n-2（n=1，2，3…）．…（4分）
（2）证明：∵c_n=n（3-b_n）=2n（

1

2

）^n-1．
∴T_n=2[(

1

2

)0+2×(

1

2

)+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n?1]，①

1

2

Tn＝2[(

1

2

)+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)