Question

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝1an2?1（n∈N*

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝1an2?1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴有

a1+2d＝7 2a1+10d＝26

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n?1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

an2?1

=

1

(2n+1)2?1

=

1

4

?

1

n(n+1)

=

1

4

?(

1

n

?

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

?(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

)=

1

4

?(1?

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．