Question

已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4，求抛物线的方程

（2)设斜率为2的直线与抛物线相交于AB两点，且lABl=3根号5，求三角形AOB的面积

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,

∴y²=2px ,焦点（p/2,0）

∵抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4

∴m²=6p m²+(3-p/2)²=16

∴p=-14或者2

∴抛物线的方程：y²=-28x或者y²=4x

(2)设直线y=2x+b，A(x1,y1)、B(x2,y2)

①y²=-28x。则4x²+(4b+28)x+b²=0∴x1+x2=-b-7 x1x2=b²/4 y1+y2=2(-b-7)+2b=-14

y1y2=4b²/4+2b(-b-7)+b²=-14b

∵|AB|=3√5

∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=45 (x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=45

∴b²+14b+49+196-b²+56b=45

∴b=-20/7

∴直线：y=2x-20/7

∴O到AB的距离h：h=|-20/7|/√(1+4)=4√5/7

∴S⊿AOB=1/2*AB*h=1/2*3√5*4√5/7=30/7

②y²=4x。则4x²+(4b-4)x+b²=0∴x1+x2=-b+1 x1x2=b²/4 y1+y2=2(-b+1)+2b=2

y1y2=4b²/4+2b(-b+1)+b²=2b

∵|AB|=3√5

∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=45 (x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=45

∴b²-2b+1+4-b²-8b=45

∴b=-4

∴直线：y=2x-4

∴O到AB的距离h：h=|-4|/√(1+4)=4√5/5

∴S⊿AOB=1/2*AB*h=1/2*3√5*4√5/5=6

Answer 2

（1）点（3，m）在 y 轴右侧，因此设抛物线方程为 y^2=2px ，
其焦点（p/2，0），准线 x= -p/2 ，
根据抛物线定义，点（3，m）到准线距离等于 4 ，即 3+p/2=4 ，
解得 p=2 ，所以抛物线方程为 y^2=4x 。
（2）设 AB 方程为 y=2x+b ，
则 2y=4x+2b=y^2+2b ，
化简得 y^2-2y+2b=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
那么 y1+y2= 2 ，y1*y2=2b ，
由 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5/4*(y2-y1)^2=5/4*[(y1+y2)^2-4y1y2]=5/4*(4-8b)=45
得 b= -4 ，
因此直线 AB 方程为 y=2x-4 ，
原点到直线 AB 的距离为 h=|0-4|/√5=4√5/5 ，
所以 SAOB=1/2*|AB|h=1/2*3√5*4√5/5=6 。