Question

已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna (a>0,a≠1) （1）求函数f(x)在（0，f(0))处的切线方程

（2）求函数f(x)的单调区间 （3）若存在x1,x2属于[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|>=e-1 (e是自然对数的底数），求实数a的取值范围

Answer 1

(1)解析：∵函数f（x）=a^x+x^2-xlna（a>0，a不等于1）
f（0）=1
函数f'（x）=a^x*lna+2x-lna==>f'（0）=0
∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
(2)解析：f'（x）=a^x*lna+2x-lna=0==>x=0
f''（x）=a^x*(lna)^2+2>0
所以函数f(x)在x=0处取极小值
x<0时，函数f(x)单调减；
x>=0时，函数f(x)单调增
(3)当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增，
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的变化（0，+∞）増，0极小值，（—∞，0）减
又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2