Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求证：AE

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE ∥ 平面BFD；（3）求四面体BCDF的体积．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD ∥ BC， ∴BC⊥平面ABE， ∵AE?平面ABE， ∴AE⊥BC． 又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE ∴BF⊥AE， ∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE （2）证明：连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE ∵BE=BC，∴F为EC的中点， ∵G是AC的中点， ∴FG ∥ AE ∵FG?平面BFD，AE?平面BFD ∴AE ∥ 平面BFD； （3）取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB． 因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，所以OE⊥AD，所以OE⊥面ADC 因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE． 因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC． 又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE，又BE?面BCE，所以AE⊥EB． ∵AE=EB=2，∴AB=2 2 ，∴OE= 2 ∴F到平面BCD的距离为 2 2 ∴四面体BCDF的体积 1 3 × 1 2 ×2×2 2 × 2 2 = 2 3