Question

（2012?虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，

（2012?虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍，求点P的坐标．

Answer 1

（1）已知抛物线y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，
∴

3＝c 0＝1+b+c

解得：

b＝?4 c＝3

∴b、c的值分别为-4，3；
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
可得旋转后C点的坐标为（4，1），
当x=4时，由y=x²-4x+3得y=3，
可知抛物线经过y=x²-4x+3经过点（4，3）
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，
∴平移后的抛物线的解析式为y=x²-4x+1．
（3）∵点P在y=x²-4x+1上，可设P点的坐标为（x₀，x₀²-4x₀+1），
将y=x²-4x+1配方得y=（x-2）²-3
∴对称轴为直线x=2，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1 MM₁=AA₁=2
∴x₀＜2，
①当0＜x₀＜2时，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1，

1

2

×2×（2-x₀）=3×

1

2

×2×x₀，
解得：x₀=

1

2

，
∴x₀=

1

2

，此时x₀²-4x₀+1=-

3

4

∴点P的坐标为（

1

2

，-

3

4

），
②当x₀＜0时，
同理可得

1

2

×2×（2-x₀）=3×

1

2

×2×（-x₀）
解得：x₀=-1，
∴x₀=-1，此时x₀²-4x₀+1=6，
∴点P的坐标为（-1，6），
综上所述，可知：点P的坐标为（

1

2

，-

3

4

）或（-1，6）．