设α1，α2，…，αk是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，向量β满足Aβ≠0，证明：向量组α1+β，α2+β，
设α1，α2，…，αk是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，向量β满足Aβ≠0，证明：向量组α1+β，α2+β，…，αk+β线性无关．...
设α1，α2，…，αk是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，向量β满足Aβ≠0，证明：向量组α1+β，α2+β，…，αk+β线性无关．
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证：设t1(α1+β)+t2(α2+β)+…+tk(αk+β)＝
，则t1α1+t2α2+…+tkαk+(t1+t2+…+tk)β＝
…①
为消去α1，α2，…，αk，对①式左乘A，得：
t1Aα1+t2Aα2+…+tkAαk+(t1+t2+…+tk)Aβ＝
．
因为α1，α2，…，αk是齐次线性方程组A
＝
的基础解系，
所以，Aαj＝
，
所以 (t1+t2+…+tk)Aβ＝
| 0 |
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为消去α1，α2，…，αk，对①式左乘A，得：
t1Aα1+t2Aα2+…+tkAαk+(t1+t2+…+tk)Aβ＝
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因为α1，α2，…，αk是齐次线性方程组A
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所以，Aαj＝
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所以 (t1+t2+…+tk)Aβ＝
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