Question

设α1,α2,...,αn-r是Ax=0的一个基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b的解,证明:向量组β，β+α1 ​

设α1,α2,...,αn-r是Ax=0的一个基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b的解,证明:向量组β，β+α1，β+αk是Ax=b的线性无关解

Answer 1

证: 设 k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r+kβ = 0. (*)
用A左乘等式两边得
k1Aα1+k2Aα2+......,+kn-rAαn-r+kAβ = 0.
由已知 β是非齐次线性方程组Ax=b的解, α1，α2，...,αn-r是Ax=0的解，
所以 Aαi=0, i=1,2,...,n-r, Aβ = b
所以有 0 + 0 +....+0+ kb = 0
由b不等于0, 得 k=0. 代入(*)式得
k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r = 0
而α1，α2，...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，是线性无关的
所以 k1=k2=...=kn-r=0.

即, 若 k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r+kβ = 0. (*)
则必有 k = k1=k2=...=kn-r=0.
所以 β，α1，α2，...,αn-r线性无关.

追问

要证明的不是β，α1，α2，...,αn-r线性无关.，而是向量组β，β+α1，β+αk是Ax=b的线性无关解