Question

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点，若在抛物线的准线上存在点P

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点，若在抛物线的准线上存在点P，使△PAB是等边三角形，则直线l的斜率等于2222．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=k（x-

p

2

），AB中点为Q（

1

2

（x₁+x₂），

1

2

（y₁+y₂））
∵AB是抛物线经过焦点的弦，∴x₁+x₂+p=|AB|，
代入直线方程，可得y₁+y₂=k（x₁-

p

2

）+k（x₂-

p

2

）=k|AB|-2kp，
因此可得Q（

1

2

（|AB|-p），

k

2

|AB|-kp）
∵PQ是等边三角形的中线，也是它的高
∴PQ的方程为：y-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[x-

1

2

（x₁+x₂）]，
设P（-

p

2

，t），代入得：t-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[-

p

2

-

1

2

（x₁+x₂）]=

1

2k

（x₁+x₂+p），
∴t=

1

2

（y₁+y₂）+

1

2k

（x₁+x₂+p）=

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp，
得P（-

p

2

，

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp），
∴|PQ|=

[? p 2 ? 1 2 (|AB|?p)]2+[( k 2 |AB|+ 1 2k |AB|?kp)?( k 2 |AB|?kp)]2

=

1

2

1+ 1 k2

|AB|
又PQ=

3

2

|AB|，即

1

2

1+ 1 k2

|AB|=

3

2

|AB|，可得k²=

1

2

∵直线l的斜率k大于0，∴k=

2

2

故答案为：

2

2