Question

已知函数f（x）=x2-2ax-1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=f(x)x（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈

已知函数f（x）=x2-2ax-1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=f(x)x（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得y=

f(x)

x

=

x2?4x+1

x

=x+

1

x

-4．
因为x＞0，所以x+

1

x

≥2，当且仅当x=

1

x

时，即x=1时，等号成立．
所以y≥-2．
所以当x=1时，y=

f(x)

x

的最小值为-2．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）-a=x²-2ax-1，所以要使得“?x∈[0，2]，
不等式f（x）≤a成立”只要“x²-2ax-1≤0在[0，2]恒成立”．
不妨设g（x）=x²-2ax-1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．
因为g（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a²，
所以

g(0)≤0 g(2)≤0

即

0?0?1≤0 4?4a?1≤0

，解得a≥

3

4

．
所以a的取值范围是[

3

4

，+∞）． …（13分）