Question

证明:阶梯形矩阵的行秩等于列秩

清华大学版线性代数，书上只举了个特殊例子就算证明了。
注意:这条定理在所有矩阵都有行秩等于列秩之前，所以请不要用所有矩阵行秩等于列秩来证明。

Answer 1

你没明白秩的定义，秩的定义是最高阶非零子式，必是方阵，肯定行秩等于列秩

追问

能否说得详细一些?我是初学者 反应比较慢

追答

换句话来说，如果按照定义求一个矩阵的秩，假设这个矩阵是Amn,无论m,n谁大谁小，都是取其中最小的那个构成的方阵，看它的行列式是否为0，如果所有的n阶方阵都为0的话，再判断所有的n-1阶方阵的行列式是否有不为0的，如果有，那么秩就是n-1;如果所有的都为0的话，再判断所有的n-2方阵的情况，依次类推。这就是按照定义来理解秩：最高阶非零子式；
其实，你还可以按照矩阵的分块来理解，一个矩阵的秩是唯一的，你对矩阵无论是写成行向量组或者是列向量组，他们的秩应该是相等的，行秩是等于列秩的。

追问

非常详细 谢谢 但是我更需要严格的证明 尽管这是显然的

追答

你学会了再看我对秩的定义的解释

追问

刚刚理解 谢了

Answer 2

既然是阶梯矩阵，你把线性无关的行和线性无关的列各找一组出来不就行了

追问

书上就是这样举的例子 我想知道严格证明

追答

没让你举具体的例子
你写一个一般的阶梯形出来，把肯定非零的元素找出来，由此构造线性无关组

追问

能否把详细过程说明一下 就是可以作为严格证明的那种

能否把详细过程说明一下 就是可以作为严格证明的那种

追答

对于一个阶梯阵A而言
设A的前r行非零，那么这r个非零行构成A的行的极大线性无关组（直接用线性无关的定义验证），所以A的行秩是r
对于前r个非零行而言，第k行的第一个1位于(k,c_k)位置，那么A的第c_1,c_2,...,c_r列构成A的列的极大线性无关组（仍然用定义验证），所以A的列秩也是r