Question

已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c)·(b-c)=0则|c|的最大值是？

是不是应该有几何和代数两种方法啊
麻烦用正常的数学符号，别用那些很奇怪的，谢谢

Answer 1

代数法：

由已知得 |a|=|b|=1 ，a*b=0 ，

因此由 (a+b)^2=a^2+b^2+2a*b=1+1+0=2 得  |a+b|=√2 ，

所以由 (a-c)*(b-c)=0 得 a*b-a*c-b*c+c^2=0 ，

那么 c^2=(a+b)*c ，

因此 |c|^2=|a+b|*|c|*cos<a+b，c> ，

即 |c|=√2cos<a+b，c> ，由余弦函数的有界性得 |c|<=√2 ，即 |c| 最大值为 √2 。

几何法：

如图，由于 (a-c)*(b-c)=0 ，因此 a-c丄b-c ，

所以 c 的终点在以 ab 为直径的圆上，

由图知，|c| 最大值为圆的直线 √2 。

追问

|c|^2=|a+b|*|c|*cos ，是什么意思呀？？

追答

是上一步 c^2=(a+b)*c 的具体体现。
左边 c 向量与自身的积，等于 |c|^2 ，
右边利用数量积的公式 a*b=|a|*|b|*cos ，用文字表示是：两个向量的数量积等于它们各自的模以及它们的夹角的余弦（共三个数）的积。

追问

|a+b|*|c|*为什么=根号2啊
还有余弦函数的有界性是什么啊？
麻烦了，谢谢

|a+b|*|c|*为什么=根号2啊
还有余弦函数的有界性是什么啊？
麻烦了，谢谢

追答

|c|^2=|a+b|*|c|*cos ，
两边约去一个 |c| ，得 |c|=|a+b|*cos ，
前面已证 |a+b|=√2 ，上式就化为了 |c|=√2cos 。
余弦函数有界性：对任意实数 x ，|cosx|<=1 。
所以 |c|<=√2*1=√2 。