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2008年初二数学竞赛试题（2008年5月25日 上午9：00—11：00）题 号一二三总分1－89－1415161718得 分 评卷人 复查人 答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器得 分 评卷人 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设 ，则 的值为 （ ）A．正数 B．负数 C．非负数 D．零2．已知 ，则 的值 （ ）A． B． C． D． 3．方程（ 的所有整数解的个数是 （ ）A．２ B.３ C.４ D.５ 4.若直线 与直线 关于x轴对称，则 的值是 （ ）A．－３ B.－２ C.２ D.３ 5．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 （ ） A.１４ B.１６ C. １８ D.２０ 6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )
主视图 左视图 俯视图 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个7．在凸四边形ABCD中，∠C=1200, ∠B=∠D=900,AB=6,BC=2 ,则AD= （ ）A. 2 B.6 C. 4 D.6 8.设n(n≥2)个正整数 ， ，…， ，任意改变它们的顺序后，记作 ， ，…， ，若P=( - )( - )( )…( 一 )，则 ( ) A． P一定是奇数． B．P一定是偶数． C．当n是偶数时，P是奇数． D．当n是奇数时，P是偶数 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知 ，则多项式的值 ．10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个整数的和的最大值是 ．x11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x的数应是 . 12．在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC边上高A D＝12cm，则三角形ABC的面积为 ． O xBACDy. ...121213．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 ) D ( 1,2 )，用信号枪沿直线 发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b的取值范围为______时，甲能由黑变白． 14．如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，n的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 . 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）得 分 评卷人 15．已知四个实数 ，且 .若四个关系式： ， 同时成立，（1）求 的值；（2）分别求 的值.
得 分 评卷人 16.某中学组织学生春游，旅游公司提供了中型客车数辆。起先，每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?
17．在△ABC中，∠C= ，D是AB的中点，E、F分别在BC、AC上，且∠EDF= .得 分 评卷人 (1)如图1，若E是BC的中点，,EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由； （2）如图2，当F在AC上运动时，点E在BC上随之运动，问在运动过程中，EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由.
得 分 评卷人 18．已知直线 （1）说明无论k取不等于1的任何实数此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标；（2）若点B(5,0) , 点P在y轴上，点A为（1）中确定的定点，要使△PAB为等腰三角形，求直线PA的解析式． 2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）题次12345678答案CDC ABDBD 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 3 10.23 11. 1 12.84cm2或24 cm2（答对一个得2分）13. -５≤b≤－１ 14. 215·320·512三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：（1）由 + =4+8=12，得 ，∴ . …… 4分 （2）由 =4－4=0， =8－8=0 得 ， ∵ ， ,∴ , . ∴ . …… 2分又 － =4－8=－4，得， . …… 2分当 时， ，解得 ， ，. …… 2分 当 ， ，解得 ，. …… 2分 16．(12分)解：设原有 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐 个人，显然 ≥2，≤32．易知旅客人数等于 ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为 ，由此列出方程. …… 2分所以 . …… 4分因为 为正整数数，所以 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且 ≥2，所以 ，或 . …… 2分如果 ，则 ， ，不满足 ≤32的条件.如果 ，则 ， ，符合题意. …… 2分所以旅客人数等于 ＝29×29＝841（人）. …… 2分答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.17．(12分)解：（1）EF2= AF2+BE2. …… 1分∵ 分别是AB,BC的中点，∴ DE∥AC，且DE= AC.∵∠C= ,∠EDF= ,∴ 四边形CFDE是矩形，∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分又∵∠EDF= ，∴EF2=DF2+DE2=AF2+BE2. …… 1分(2) EF2= AF2+BE2. …… 1分延长FD至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD≌△BGD. …… 2分∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A .∵∠EDF= ,∴EF=EG. …… 1分又∠GBD=∠A，∴BG∥AC,∴∠GBE=∠C=900, …… 1分∴EG2=BE2+BG2=BE2+AF2∴ EF2=AF2+BE2. …… 2分18．(14分)解：（1）由题意知 ， 若取 得 ①， 若取 得 ②.解①②得 . 所以，不论 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分（2）分三种情况讨论：① 设P1(0,m1) ,满足P1B=P1A, 由勾股定理得， ，解得 ，即P1（0， ），符合题意，直线P1A的解析式： . …… 2分② 设P2(0,m2)，满足P2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P2（0，0），直线P2A的解析式： . …… 2分③设P3(0,m3)，满足P1A=AB, 由勾股定理得，,解得 ，即P3（0， ，P4（0， ，直线P3A的解析式： ， …… 2分直线P3A的解析式： . …… 2分综上所述，直线PA的解析式为： ，或 ，或 ，或 . …… 1分
主视图 左视图 俯视图 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个7．在凸四边形ABCD中，∠C=1200, ∠B=∠D=900,AB=6,BC=2 ,则AD= （ ）A. 2 B.6 C. 4 D.6 8.设n(n≥2)个正整数 ， ，…， ，任意改变它们的顺序后，记作 ， ，…， ，若P=( - )( - )( )…( 一 )，则 ( ) A． P一定是奇数． B．P一定是偶数． C．当n是偶数时，P是奇数． D．当n是奇数时，P是偶数 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知 ，则多项式的值 ．10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个整数的和的最大值是 ．x11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x的数应是 . 12．在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC边上高A D＝12cm，则三角形ABC的面积为 ． O xBACDy. ...121213．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 ) D ( 1,2 )，用信号枪沿直线 发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b的取值范围为______时，甲能由黑变白． 14．如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，n的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 . 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）得 分 评卷人 15．已知四个实数 ，且 .若四个关系式： ， 同时成立，（1）求 的值；（2）分别求 的值.
得 分 评卷人 16.某中学组织学生春游，旅游公司提供了中型客车数辆。起先，每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?
17．在△ABC中，∠C= ，D是AB的中点，E、F分别在BC、AC上，且∠EDF= .得 分 评卷人 (1)如图1，若E是BC的中点，,EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由； （2）如图2，当F在AC上运动时，点E在BC上随之运动，问在运动过程中，EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由.
得 分 评卷人 18．已知直线 （1）说明无论k取不等于1的任何实数此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标；（2）若点B(5,0) , 点P在y轴上，点A为（1）中确定的定点，要使△PAB为等腰三角形，求直线PA的解析式． 2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）题次12345678答案CDC ABDBD 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 3 10.23 11. 1 12.84cm2或24 cm2（答对一个得2分）13. -５≤b≤－１ 14. 215·320·512三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：（1）由 + =4+8=12，得 ，∴ . …… 4分 （2）由 =4－4=0， =8－8=0 得 ， ∵ ， ,∴ , . ∴ . …… 2分又 － =4－8=－4，得， . …… 2分当 时， ，解得 ， ，. …… 2分 当 ， ，解得 ，. …… 2分 16．(12分)解：设原有 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐 个人，显然 ≥2，≤32．易知旅客人数等于 ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为 ，由此列出方程. …… 2分所以 . …… 4分因为 为正整数数，所以 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且 ≥2，所以 ，或 . …… 2分如果 ，则 ， ，不满足 ≤32的条件.如果 ，则 ， ，符合题意. …… 2分所以旅客人数等于 ＝29×29＝841（人）. …… 2分答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.17．(12分)解：（1）EF2= AF2+BE2. …… 1分∵ 分别是AB,BC的中点，∴ DE∥AC，且DE= AC.∵∠C= ,∠EDF= ,∴ 四边形CFDE是矩形，∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分又∵∠EDF= ，∴EF2=DF2+DE2=AF2+BE2. …… 1分(2) EF2= AF2+BE2. …… 1分延长FD至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD≌△BGD. …… 2分∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A .∵∠EDF= ,∴EF=EG. …… 1分又∠GBD=∠A，∴BG∥AC,∴∠GBE=∠C=900, …… 1分∴EG2=BE2+BG2=BE2+AF2∴ EF2=AF2+BE2. …… 2分18．(14分)解：（1）由题意知 ， 若取 得 ①， 若取 得 ②.解①②得 . 所以，不论 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分（2）分三种情况讨论：① 设P1(0,m1) ,满足P1B=P1A, 由勾股定理得， ，解得 ，即P1（0， ），符合题意，直线P1A的解析式： . …… 2分② 设P2(0,m2)，满足P2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P2（0，0），直线P2A的解析式： . …… 2分③设P3(0,m3)，满足P1A=AB, 由勾股定理得，,解得 ，即P3（0， ，P4（0， ，直线P3A的解析式： ， …… 2分直线P3A的解析式： . …… 2分综上所述，直线PA的解析式为： ，或 ，或 ，或 . …… 1分
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