Question

如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点 （1）求证：△BMD为等腰直角三角

如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点 （1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可． （2）延长ED交AC于F，求出DM= FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可． （3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案． 试题解析：（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°， ∵点M为BC的中点， ∴BM= EC，DM= EC， ∴BM=DM，BM=CM，DM=CM， ∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC， ∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE， 同理∠DME=2∠ACM， ∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90° ∴△BMD是等腰直角三角形． （2）如图2，△BDM是等腰直角三角形， 理由是：延长ED交AC于F， ∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠EAD=45°， ∵AD⊥ED， ∴ED=DF， ∵M为EC中点， ∴EM=MC， ∴DM= FC，DM∥FC， ∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°， ∵ED⊥AB，BC⊥AB， ∴ED∥BC， ∴∠DEM=NCM， 在△EDM和△CNM中 ∴△EDM≌△CNM（ASA）， ∴DM=MN， ∴BM⊥DN， ∴△BMD是等腰直角三角形． （3） △BDM是等腰直角三角形， 理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF， 可证得△MDE≌△MFC， ∴DM=FM，DE=FC， ∴AD=ED=FC， 作AN⊥EC于点N， 由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°， 可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM， ∵CF∥ED， ∴∠DEN=∠FCM， ∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD， ∴△BCF≌△BAD， ∴BF=BD，∠DBA=∠CBF， ∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°， ∴△DBF是等腰直角三角形， ∵点M是DF的中点， 则△BMD是等腰直角三角形， 考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.等腰直角三角形.