如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF
如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(Ⅰ)求y1y2的值...
如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(Ⅰ)求y1y2的值;(Ⅱ)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2.证明:k1k2为定值.
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(Ⅰ)解:依题意,设直线AB的方程为x=my+2.
将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.
从而y1y2=-8.
(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).
则
=
×
=
×
=
.
设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,
整理得y2-4ny-4=0.
所以y1y3=-4.
同理可得 y2y4=-4.
故
=
=
将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.
从而y1y2=-8.
(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).
则
k1 |
k2 |
y3?y4 |
x3?x4 |
x1?x2 |
y1?y2 |
y3?y4 | ||||
|
| ||||
y1?y2 |
y1+y2 |
y3+y4 |
设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,
整理得y2-4ny-4=0.
所以y1y3=-4.
同理可得 y2y4=-4.
故
k1 |
k2 |
y1+y2 |
y3+y4 |
y1+y2 | |||
|