Question

已知过抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,

已知过抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1/|FA|+1/|FB|为定值.

Answer 1

证明：设过焦点F的直线方程为 y=k(x-p/2) 与y^2=2px联立消y得 k^2(x-p/2)^2=2px
所以 k^2x^2-(k^2p+2p)x+p/4k^2=0
所以 x1+x2=(k^2p+2p)/ k^2x x1*x2=p/4
又因为|FA|=x1+p/2 |FB|=x2+p/2
1/|FA|+1/|FB|=(|FA|+FB|)/FA*FB
所以 原式可化为(x1+x2+p)/（x1+p/2)(x2+p/2)
将 x1+x2 x1*x2带入
解得=2/p 为常数