Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，且当n≥5时，an+1=a1a2…an-1，若数列{bn}满足对任意n

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，且当n≥5时，an+1=a1a2…an-1，若数列{bn}满足对任意n∈N*，有bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2，则b5=______；当n≥5时，bn=______．

Answer 1

由已知，b₅=a₁a₂…a₅-a₁²-a₂²-…-a₅²
=1×2×3×4×5-（1²+2²+3²+4²+5²）
=120-55
=65．
当n≥5时，由a_n+1=a₁a₂…a_n-1，移向得出a₁a₂…a_n-1=a_n+1+1  ①
∵b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，②
∴b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²   ③
^_③-②得b_n+1-b_n=a₁a₂…a_na_n+1-a₁a₂…a_n-a_n+1²   
=a₁a₂…a_n（a_n+1-1）-a_n+1²    （将①式代入）
=（a_n+1+1）（a_n+1-1）-a_n+1²=a_n+1²-1-a_n+1²   
=-1
∴当n≥5时，数列{b_n}的各项组成等差数列，
∴b_n=b₅+（n-5）×（-1）=65-（n-5）=70-n．
故答案为：65   70-n