Question

在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的

在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA（2分），
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA（4分）；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

＝

BA

CD

（5分）
由依题意可知CA=BA=

2

，
∴

m

2

＝

2

n

，
∴m=

2

n

（7分）
自变量n的取值范围为1＜n＜2．（8分）

（3）成立（9分）
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²
即BD²+CE²=DE²．