Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=50°．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=50°．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．（1）如图1，当θ=20°时，∠BOE=______度；（2）当△ABC旋转到如图2所在位置时，求∠BOE的度数，并说明理由；（3）如图3，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB＝3AB′，AC＝3AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角θ （0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图3探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE=50°，
∴∠ABC=∠ADE=∠ACB=∠AED=

1

2

（180°-50°）=65°，
∵AB=AD，∠DAB=θ=20°，
∴∠ABD=∠ADB=

1

2

（180°-20°）=80°，
同理∠AEC=∠ACE=80°，
∴∠EDO=180°-65°-80°=35°，∠DEC=80°-65°=15°，
∴∠DOE=180°-35°-15°=130°，

（2）当旋转到如图2所在位置时，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
设AD与CE相交于点F，则∠OFD=∠EFA，
∴∠EOD=∠EAD=50°，
∴∠BOE=130°；

（3）50°或130°，如图

理由是：如图3，
∵AB＝

3

AB′，AC＝

3

AC′，
∴

AB

AD

=

AC

AE

=

3

，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=180°-50°=130°，
∴∠BOE=180°-（∠OBC+∠BCA+∠ACE）=180°-（∠ABD+∠OBC+∠BCA）=180°-130°=50°；
如图4，∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-130°=50°，
∴∠BOE=180°-50°=130°．
故∠BOE的度数为50°或130°．
故答案为：130°．