Question

把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN=BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

（1）证明：延长MB到H，使BH=DN，连结AH，如图（1），
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
在△ABH和△ADN中，

AB＝AD ∠ABH＝∠ADN BH＝DN

，
∴△ABH≌△ADN（SAS），
∴AH=AN，∠HAB=∠NAD，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠HAB+∠BAM=45°，
∴∠HAM=∠NAM，
在△AMH和△AMN中，

AH＝AN ∠HAM＝∠NAM AM＝AM

，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH=MN，即HB+MB=MN，
∴MN=BM+DN；

（2）解：MN=DN-BM．理由如下：
在DN上截取DH=BM，如图（2），
与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，
∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAH+∠BAN=45°，
∴∠HAN=45°，
∴∠HAN=∠NAM，
在△ANH和△AMN中，

AH＝AM ∠HAN＝∠MAN AN＝AN

，
∴△ANH≌△AMN（SAS），
∴NH=MN，
而DN=DH+HN，
∴BM+MN=DN，
即MN=DN-BM．