Question

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF= ∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

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Answer 1

（1）EF=BE+DF见解析   （2）AM=AB见解析   （3）AM=AB见解析

（1）EF=BE+DF， 证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°， 在△ADF和△ABQ中 ∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠BAQ=45°， 即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中 ∴△EAQ≌△EAF， ∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF． （2）解：AM=AB， 理由是：∵△EAQ≌△EAF， ∴ ×EQ×AB= ×FE×AM， 又∵EF=EQ， ∴AM=AB． （3）AM=AB， 证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合， ∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC= ∠BAD， 在△ADF和△ABQ中， ∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠FAE= ∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ= ∠BAD， 即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中， ∴△EAQ≌△EAF（SAS）， ∴EF=EQ， ∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ， ∴ ×EQ×AB= ×FE×AM， ∴AM=AB． （1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可； （2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出 ×BQ×AB= ×FE×AM，求出即可； （3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC= ∠BAD，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，证明EAQ≌△EAF，推出EF=EQ即可．