Question

已知正方形ABCD，一等腰三角形的锐角顶点与A重合，把此三角形绕点A旋转时分别交直线BC、CD于M、N，

问题：（1）当M、N分别在BC、CD边上时，（图1）求证BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在BC、CD所在直线上时，（图2、图3）线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系？请写出并证明 图3（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q，若MN＝10，CM＝8，求AP的长？
想来想去，我把图存在我的QQ相册里了，想做题的到那里去看图吧，http://user.qzone.qq.com/105857474
我可不是为了访问量，感觉不会的不用去看。多谢个位了！！！
等腰三角形的另两个点没有落在三角形上啊，算了

Answer 1

（1）证明：作AE⊥AN交CB的延长线于E，
∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD．    
又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），（2分）
∴AE=AN，BE=DN．
∵∠EAM=∠NAM=45°，AM=AM，
∴△AME≌△AMN．     …（3分）
∴MN=ME=MB+BE=MB+DN．…（4分）

分析：（1）作AE垂直于AN，交CB的延长线于点E，由同角的余角相等得到一对锐角相等，再由一对直角相等，又正方形的边长相等，利用ASA即可得到三角形ABE与三角形AND全等，从而得到对应边AE与AN，BE与DN相等，又∠EAM=∠NAM=45°，AM为公共边，利用SAS即可得到三角形AEM与三角形ANM全等，从而得到MN=ME，等量代换即可得证；
（2）图2的结论：MN+DN=BM，理由为：在BC上截取BG=DN，连接AG，然后也可以证明△AMN≌△AMG，也根据全等三角形的性质就可以得到结论；图3的结论：MN+BM=DN，理由为：在ND上截取DG=BM，连接AG，首先证明△AMB≌△AGD，再证△AMG为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）连接AC，在直角三角形MNC中，由MN和CM的长，利用勾股定理求出CN的长，根据图3的结论等量代换即可求出BC的长，从而利用勾股定理求出AC的长，根据同角的余角相等得到一对锐角相等，再根据45度的邻补角相等得到一对钝角相等，利用两对角相等的两三角形相似，可得三角形ABP与三角形ACN相似，且相似比为1：根号2    

，在直角三角形AND中，利用勾股定理求出AN的长，代入比例式即可求出AP的长．

Answer 2

（1）：因为三角形AMN为等腰三角形且M,N分别在BC,CD边上
所以证明AM=AN,又因为ABCD为正方形，得BM=DN,设M,N分别为BC，CD的中点
过A点做AO垂直MN，因为三角形AMN为等腰三角形所以O为中点
又因为,<ABM=<AOM=90度，AM=AM.三角形ABM相似全等三角形AOM
BM=MO=ON=DN，又因为MN＝MO+ON所以MN=BM+DN