已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图
已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程...
已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值;(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;(Ⅲ)若ln(x+1)<x+c对任意x都成立,求实数c的取值范围.
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(Ⅰ)∵f′(x)=
,∴f'(1)=1.
∴直线l的斜率为1,且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0).
∴直线l的方程为y=x-1.(2分)
又∵直线l与函数y=g(x)的图象相切,
∴方程组
有一解.
由上述方程消去y,并整理得x2+2(m-1)x+9=0①
依题意,方程①有两个相等的实数根,
∴△=[2(m-1)]2-4×9=0
解之,得m=4或m=-2
∵m<0,∴m=-2.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)=
x2?2x+
,
∴g'(x)=x-2∴h(x)=ln(x+1)-x+2(x>-1).(6分)
∴h′(x)=
?1=
.(7分)
∴当x∈(-1,0)时,h'(x)>0,当x∈(0,+∞)时,h'(x)<0.
∴当x=0时,h(x)取最大值,其最大值为2,
(Ⅲ).ln(x+1)-x<c恒成立,所以c≥(ln(x+1)-x)max,
由(Ⅱ)可知ln(x+1)-x的最大值为0,
所以c≥0.
1 |
x |
∴直线l的斜率为1,且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0).
∴直线l的方程为y=x-1.(2分)
又∵直线l与函数y=g(x)的图象相切,
∴方程组
|
由上述方程消去y,并整理得x2+2(m-1)x+9=0①
依题意,方程①有两个相等的实数根,
∴△=[2(m-1)]2-4×9=0
解之,得m=4或m=-2
∵m<0,∴m=-2.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)=
1 |
2 |
7 |
2 |
∴g'(x)=x-2∴h(x)=ln(x+1)-x+2(x>-1).(6分)
∴h′(x)=
1 |
x+1 |
?x |
x+1 |
∴当x∈(-1,0)时,h'(x)>0,当x∈(0,+∞)时,h'(x)<0.
∴当x=0时,h(x)取最大值,其最大值为2,
(Ⅲ).ln(x+1)-x<c恒成立,所以c≥(ln(x+1)-x)max,
由(Ⅱ)可知ln(x+1)-x的最大值为0,
所以c≥0.
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