Question

高等数学积分问题。请问划线部分的积分是如何化成下面两步积分的

Answer 1

它这个中间省略了一步，增加了理解的难度！

首先，被积函数x^2/√(a^2-x^2)是偶函数，所以在对称区间上可以二倍之
即，∫<a,-a>[x^2/√(a^2-x^2)]dx
=∫<-a,a>[-x^2/√(a^2-x^2)]dx
=2∫<0,a>[-x^2/√(a^2-x^2)]dx

=2∫<0,a>∫[(a^2-x^2)-a^2]/√(a^2-x^2)}dx【这里就是将原来的分子-x^2，变为(a^2-x^2)-a^2】

=2∫<0,a>∫√(a^2-x^2)dx-2a^2∫<0,a>[1/√(a^2-x^2)]dx

Answer 2

首先，被积函数是偶函数，区间对称，所以积分区间减半，变成2倍。

其次，被积函数的分子x^2=a^2-(a^2-x^2)，所以被积函数写成a^2/√(a^2-x^2) - √(a^2-x^2)。