Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于 点E，且AD⊥PD．（1）求

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于 点E，且AD⊥PD．（1）求证：AB=AE；（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD； 又∵AD⊥PD， ∴OC ∥ AD； ∵O是AB的中点， ∴OC= 1 2 AE，而OC= 1 2 AB， ∴AB=AE． （2）当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形． 理由如下： 由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成为等边三角形， 只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），从而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°， 故PB=BC= 1 2 AB，即当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．