Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60 0 ，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60 0 ，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD= ，求⊙O的直径．

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Answer 1

（1）见解析（2）2

解：（1）证明：连接OA， ∵∠B=60 0 ，∴∠AOC=2∠B=120 0 。 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30 0 。 又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30 0 。 ∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90 0 。∴OA⊥PA。 ∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线。 （2）在Rt△OAP中，∵∠P=30 0 ， ∴PO=2OA=OD+PD。 又∵OA=OD，∴PD=OA。 ∵PD= ，∴2OA=2PD=2 。 ∴⊙O的直径为2 。． （1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30 0 ，再由AP=AC得出 ∠P=30 0 ，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论。 （2）利用含30 0 的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD= ，可得出⊙O的直径。