Question

已知椭圆x∧2/4+y∧2/3=1的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，若k=1

已知椭圆x∧2/4+y∧2/3=1的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，若k=1，求|AB|的长度、△ABF1的周长②若向量AF2=2向量F2B，求k的值。谢谢

Answer 1

a=2,b=√3,c=1
直线AB斜率为1，且过点(1,0)
∴AB的方程为y=x-1
AB与椭圆相交
根据弦长公式
d=√[(1+k²)(x1-x2)²]
联立椭圆与y=x-1
得到方程
7x²-8x-8=0
∴x1+x2=8/7 x1·x2=-8/7
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1·x2=288/49
d=√[(1+1²)×288/49]=24/7
弦长为24/7
至于周长，我们可以求出上面方程中具体的x1,x2的值，用两点间距离公式求出AF1，BF1相加即可

设y=k(x-1)
联立椭圆方程得到
(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0 ---①
根据那个向量关系可以得到
1-x1=2(x2-1)
-y1=2y2
我们只用
-y1=2y2
∴-y1=-k(x1-1)
y2=k(x2-1)
∴
-(x1-1)=x2-1
x1+x2=2
再看①
x1+x2=(12-4k²)/(3+4k²)
∴
x1+x2=(12-4k²)/(3+4k²)=2
解得k=(±√2)/2