Question

.设函数f(x)在[0.1]内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明至少存在一点使得f(x)+f'(x)-x-1=0

Answer 1

令F(x)=f(x)-x
∵f(x)在[0.1]内可导
∴f(x)在[0.1]内连续
∴F(x)在[0.1]内连续
又f(0)=f(1)=0, f(1/2)=1
∴F(0)=f(0)-0=0
F(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2
F(1)=f(1)-1=-1
由介值定理知，
至少存在一个η∈(1/2,1), 使得F(η)=0
∴F(0)=F(η)=0

令G(x)=(e^x)*F(x)=(e^x)[f(x)-x)]
则G(0)=G(η)=0
又G(x)在[0.1]内可导
∴由罗尔定理知，
至少存在一个ξ∈(0,η), 使得G'(ξ)=0
即(e^ξ)*[f(ξ)-ξ]+(e^ξ)*[f'(ξ)-1]=0
(e^ξ)*[f(ξ)-ξ+f'(ξ)-1]=0
∵e^ξ>0
∴f(ξ)+f'(ξ)-ξ-1=0